Question

某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R（x）=3 700x+45x²-10x³（單位：萬元），成本函數(shù)為C（x）=460x+5 000（單位：萬元），又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)Mf（x）定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）．
（1）求利潤函數(shù)P（x）及邊際利潤函數(shù)MP（x）；（提示：利潤=產(chǎn)值-成本）
（2）問年造船量安排多少艘時(shí)，可使公司造船的年利潤最大？
（3）求邊際利潤函數(shù)MP（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，并說明單調(diào)遞減在本題中的實(shí)際意義是什么？

Answer 1

（1）P（x）=R（x）-C（x）=-10x³+45x²+3240x-5000（x∈N*，且1≤x≤20）；
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-30x²+60x+3275（x∈N*，且1≤x≤19）．
（2）P′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x-12）（x+9），
∵x＞0，∴P′（x）=0時(shí)，x=12，
∴當(dāng)0＜x＜12時(shí)，
P′（x）＞0，當(dāng)x＞12時(shí)，P′（x）＜0，
∴x=12時(shí)，P（x）有最大值．
即年造船量安排12艘時(shí)，可使公司造船的年利潤最大．
（3）MP（x）=-30x²+60x+3275=-30（x-1）²+3305．
所以，當(dāng)x≥1時(shí)，MP（x）單調(diào)遞減，
所以單調(diào)減區(qū)間為[1，19]，且x∈N^*．
MP（x）是減函數(shù)的實(shí)際意義，隨著產(chǎn)量的增加，每艘利潤與前一艘利潤比較，利潤在減少．