解:(1)解
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/263175.png)
得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3928.png)
或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3929.png)
.…(2分)
若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3928.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/263176.png)
,f'(x)=-x
2+2x-1=-(x-1)
2≤0f(x)在R上單調(diào)遞減,在x=1處無極值;
若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3929.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/263177.png)
,f'(x)=-x
2-2x+3=-(x-1)(x+3),
直接討論知,f(x)在x=1處有極大值,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3929.png)
為所求.…(4分)
(2)由(1)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/263178.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/263179.png)
,…(6分)
當(dāng)y
極小值=m-12>0,或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/263180.png)
,曲線y=f(x)+m與x軸僅有一個交點.…(8分)
因此,實數(shù)m的取值范圍是m>12或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/263181.png)
.…(9分)
(3)g(x)=|-(x-b)
2+b
2+c|.若|b|>1,
則f'(x)在[-1,1]是單調(diào)函數(shù),M=max{|f'(-1)|,|f'(1)|}={|-1+2b+c|,|-1-2b+c|},因為f'(1)與f'(-1)之差的絕對值|f'(1)-f'(-1)|=|4b|>4,所以M>2.…(11分)
若|b|≤1,f'(x)在x=b∈[-1,1]取極值,
則M=max{|f'(-1)|,|f'(1)|,|f'(b)|},f'(b)-f'(±1)=(b?1)
2.
若-1≤b<0,f'(1)≤f'(-1)≤f'(b),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/263182.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/14934.png)
;
若0≤b≤1,f'(-1)≤f'(1)≤f'(b),M=max{|f'(-1)|,|f'(b)|}
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/263183.png)
.
當(dāng)b=0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/36333.png)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/263184.png)
在[-1,1]上的最大值
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3935.png)
.…(13分)
所以,k的取值范圍是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/17300.png)
.…(14分)
分析:(1)先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)題意f′(x)=0應(yīng)有根x=1,可得一個關(guān)系式,再借助極值建立等量關(guān)系,解二元一次方程組即可,應(yīng)注意導(dǎo)數(shù)為0是取極值的必要不充分條件.
(2)曲線f(x)與x軸僅有一個交點,可轉(zhuǎn)化成f(x)
極大值<0或f(x)
極小值>0即可.
(3)根據(jù)題意得到g(x)的解析式,利用已知求出g(x)的最大值M,利用M≥k列出不等式求出k的取值范圍即可.
點評:本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,通過極值求解系數(shù),,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,從而解決恒成立問題,屬于中檔題.