Question

已知橢圓上的點(diǎn)P到左、右兩焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為，離心率
（I）求橢圓的方程；
（II）過右焦點(diǎn)F₂且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，試問：險段OF₂上是否存在一點(diǎn)M，使得|MA|=|MB|？請作出并證明．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)點(diǎn)P到左、右兩焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和求得a，進(jìn)而根據(jù)離心率e求得c，再根據(jù)b=求得b，橢圓的方程可得．
（II）設(shè)直線的方程為y=k（x-1），直線方程與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），以及AB的中點(diǎn)C（x，y），根據(jù)韋達(dá)定理可得x₁+x₂的表達(dá)式，根據(jù)x=進(jìn)而可得x和y的表達(dá)式，再根據(jù)設(shè)滿足條件的點(diǎn)M（m，0），根據(jù)CM⊥AB，k_CM•k_AB=-1，代入即可得到m和k的關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)k的范圍確定m的范圍，進(jìn)而判斷存在滿足條件的點(diǎn)M．
解答：解：（I）橢圓的方程圓設(shè)a＞b
∵點(diǎn)P到左、右兩焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為，
∴2a=2，a=
∵離心率e==，
∴c=1，b==1
∴所求橢圓的方程為
（II）存在滿足條件的M，
證明：設(shè)直線的方程為y=k（x-1）（k≠0）
由
可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），以及AB的中點(diǎn)C（x，y），
∴x₁+x₂=
∴x==，y=k（x-1）=-
再設(shè)滿足條件的點(diǎn)M（m，0），則0≤m≤1，
所以CM⊥AB，則k_CM•k_AB=-1
由k_CM==
∴•k=-1，解得m=
∵k²＞0，可得0＜m＜，故存在滿足條件的點(diǎn)M．
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓與直線的關(guān)系和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問題．圓錐曲線的問題是歷年來高考中重點(diǎn)考查的題型，故應(yīng)加強(qiáng)這方面的復(fù)習(xí)．