【題目】已知長(zhǎng)方體中， 為的中點(diǎn)， 在棱上， ， .

（1）若異面直線(xiàn)與互相垂直，求的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)四棱錐的體積為時(shí)，求證：直線(xiàn)平面.

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：如圖，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線(xiàn)為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.得到相應(yīng)點(diǎn)和相應(yīng)向量的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式可得的長(zhǎng)

（2）證明：因?yàn)?/span>是長(zhǎng)方體， 在棱上，所以平面，

所以四棱錐的體積，解得.

此時(shí)為的中點(diǎn)，所以. 利用空間向量的知識(shí)可證得直線(xiàn)平面..

試題解析：（1）如圖，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線(xiàn)為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則， ， ， ， ， ， .

設(shè)，則， ，

因?yàn)?/span>，所以，即，解得.

所以，當(dāng)異面直線(xiàn)與互相垂直時(shí)， .

（2）證明：因?yàn)?/span>是長(zhǎng)方體， 在棱上，所以平面，

所以四棱錐的體積 ，解得.

此時(shí)為的中點(diǎn)，所以.

由（1）可知， ， .

設(shè)平面的法向量為，則，即，

令，得， ，所以，

因?yàn)?/span>，

所以，因?yàn)橹本�(xiàn)平面，

所以直線(xiàn)平面.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知三棱錐如圖所示，其中， ，二面角的大小為.

（1）證明： ；

（2）若為線(xiàn)段的中點(diǎn)，且， ，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求證在上是單調(diào)遞減函數(shù)；

（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)做軸的垂線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn),且.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若為橢圓短軸的上頂點(diǎn)，直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn)，若直線(xiàn)與直線(xiàn)的斜率的和為，問(wèn)：直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出這個(gè)定點(diǎn)，否則說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，橢圓： 的焦距與橢圓： 的短軸長(zhǎng)相等，且與的長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等，這兩個(gè)橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)在軸正半軸上的頂點(diǎn)且與直線(xiàn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）垂直， 與的另一個(gè)交點(diǎn)為， 與交于， 兩點(diǎn).

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.

(1)若a＝2，試求函數(shù)y＝(x>0)的最小值；

(2)對(duì)于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立，試求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的上頂點(diǎn)為，直線(xiàn)與該橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰為的垂心，則直線(xiàn)的方程為______ .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限（年）和所支出的維修費(fèi)用（萬(wàn)元）有如下統(tǒng)計(jì)資料：

/年

2

3

4

5

6

/萬(wàn)元

若由資料知， 對(duì)呈線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，試求：

（1）回歸直線(xiàn)方程；

（2）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用約是多少？

參考公式：回歸直線(xiàn)方程： .其中

（注： )

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】右圖是一個(gè)幾何體的平面展開(kāi)圖，其中ABCD為

正方形， E、F分別為PA、PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，

給出下面四個(gè)結(jié)論：

①直線(xiàn)BE與直線(xiàn)CF異面；②直線(xiàn)BE與直線(xiàn)AF異面；

③直線(xiàn)EF//平面PBC； ④平面BCE⊥平面PAD.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

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同步練習(xí)冊(cè)答案