Question

已知函數(shù)在處取得極值.

（1）求實數(shù)的值；

（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍；

（3）證明:對任意的正整數(shù),不等式…都成立.

 

Answer 1

（1）（2）；（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)，對其進行求導(dǎo)，在處取得極值，可得，求得值；（2）關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根，將問題轉(zhuǎn)化為，在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根，對對進行求導(dǎo)，從而求出的范圍；

（3）的定義域為，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，可以推出，令，可以得到，利用此不等式進行放縮證明；

試題解析：（1） ， 時, 取得極值,

故，解得

經(jīng)檢驗符合題意.

（2）由知 由,得

令則在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根等價于在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)根.

當(dāng)時, ,于是在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時, ,于是在上單調(diào)遞減.

依題意有 解得

（3） 的定義域為,由（1）知,

令得,或 （舍去）, 當(dāng)時, ,單調(diào)遞增;

當(dāng)時, ,單調(diào)遞減.為在上的最大值.

,故 （當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立）

對任意正整數(shù),取得, ,

故……

（方法二）數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)時，左邊，右邊，顯然，不等式成立.

假設(shè)時，…成立，

則時，有….作差比較：

構(gòu)建函數(shù)，則，在

單調(diào)遞減，.

取，

即，亦即，

故時，有…，

不等式成立.

綜上可知，對任意的正整數(shù),不等式…都成立

考點：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.