Question

（2012•深圳二模）設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bx+c，其中b，c是某范圍內(nèi)的隨機數(shù)，分別在下列條件下，求事件A“f（1）≤5且f（0）≤3”發(fā)生的概率．
（1）若隨機數(shù)b，c∈{1，2，3，4}；
（2）已知隨機函數(shù)Rand（　�。┊a(chǎn)生的隨機數(shù)的范圍為{x|0≤x≤1}，b，c是算法語句b=4*Rand（　　）和c=4*Rand（　�。┑膱�(zhí)行結(jié)果．（注：符號“*”表示“乘號”）

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x²+bx+c知，事件A“f（1）≤5且f（0）≤3”，即

b+c≤4 c≤3

，隨機數(shù)b，c∈{1，2，3，4}，共等可能地產(chǎn)生16個數(shù)對，事件A：

b+c≤4 c≤3

包含了其中6個數(shù)對，從而可求事件A發(fā)生的概率；
（2）由題意，b，c均是區(qū)間[0，4]中的隨機數(shù)，產(chǎn)生的點（b，c）均勻地分布在邊長為4的正方形區(qū)域Ω中，事件A：

b+c≤4 c≤3

所對應(yīng)的區(qū)域為的梯形，從而可求事件A的發(fā)生概率．

解答：解：（1）由f（x）=x²+bx+c知，事件A“f（1）≤5且f（0）≤3”，即

b+c≤4 c≤3

（1分）
因為隨機數(shù)b，c∈{1，2，3，4}，所以共等可能地產(chǎn)生16個數(shù)對（b，c），
列舉如下：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4分）
事件A：

b+c≤4 c≤3

包含了其中6個數(shù)對（b，c），即：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），（6分）
所以P(A)=

6

16

=

3

8

，即事件A發(fā)生的概率為

3

8

 （7分）
（2）由題意，b，c均是區(qū)間[0，4]中的隨機數(shù)，產(chǎn)生的點（b，c）均勻地分布在邊長為4的正方形區(qū)域Ω中（如圖），其面積S（Ω）=16．（8分）
事件A：

b+c≤4 c≤3

所對應(yīng)的區(qū)域為如圖所示的梯形（陰影部分），
其面積為：S（A）=

1

2

×(1+4)×3=

15

2

．（10分）
所以P(A)=

S(A)

S(Ω)

=

15 2

16

=

15

32

，即事件A的發(fā)生概率為

15

32

．（12分）

點評：本題主要考查隨機數(shù)、隨機函數(shù)的定義，古典概型，幾何概型，線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生轉(zhuǎn)換問題的能力，數(shù)據(jù)處理能力．