Question

數(shù)列{a_n}中a₁=1，前n項的和S_n滿足關系式4tS_n-（3t+4）S_n-1=4t（t＞0，n=2，3，4，…）
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）設數(shù)列{a_n}的公比為f（t），作數(shù)列{b_n}，使b₁=1，bn=f(

1

bn-1

)，求和：P=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

Answer 1

分析：（1）利用a_n=S_n-tS_n-1，求得數(shù)列{a_n}的遞推式，整理得

an

an-1

=

(4+3t)

4t

（n≥3）進而可推斷出n≥3時，數(shù)列成等比數(shù)列，然后分別求得a₁和a₂，驗證亦符合，進而可推斷出{a_n}是一個首項為1，公比為

(4+3t)

4t

的等比數(shù)列．
（2）把f（t）的解析式代入b_n，進而可知bn=f(

1

bn-1

)=bn-1+

3

4

，，判斷出{b_n}是一個首項為1，公差為的等差數(shù)列．{b_n}是等差數(shù)列．進而可推斷出{b_2n-1}和{b_2n}也是等差數(shù)列，進而用分組法求得b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1和

解答：解：（1）∵n≥3時，4tS_n-1-（3t+4）S_n-2=4t
∴4tS_n-（3t+4）S_n-1=4t
兩式相減得：4ta_n=（4+3t）a_n-1所以

an

an-1

=

(4+3t)

4t

（n≥3）
 又n=2，a2=

4+3t

4t

，

a2

a1

=

4+3t

4t

∴{a_n}為等比數(shù)列，且公比為

4+3t

4t

．
（2）∵bn=f(

1

bn-1

)=bn-1+

3

4

，
∴數(shù)列{b_n}是以b₁=1為首項，以

3

4

為公差的等差數(shù)列，
 通項公式為bn=

3n+1

4

，

P=b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1 =b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+b2n(b2n-1-b2n+1) =-2d(b2+b4+…+b2n)

易知{b_2n}也是等差數(shù)列∴p=(-2d )

(b2+ bn)•n

2

=（-2）×

3

4

×

7 4 +  6n+1 4

2

=-

9n2+12n

8

．

點評：本題主要考查了等比關系的確定．考查了學生計算，綜合分析問題，解決問題的能力．用到的知識點有數(shù)列中a_n與s_n關系的應用，等差數(shù)列的判定及前項和計算公式，分組求和法．