Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AD=DC=3，DD₁=4，E是A₁A的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁C∥平面BED；
（Ⅱ）求二面角E-BD-A的大��；
（Ⅲ）求點(diǎn)E到平面A₁BCD₁的距離．

Answer 1

【答案】分析：因?yàn)槭且粋�(gè)長(zhǎng)方體，很容易建立空間直角坐標(biāo)系，（I）先求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)A₁（0，0，4），C（3，3，0），
E（0，0，2），O（，從而得到向量的坐標(biāo)，然后由共線向量定理證明即可．
（II）分別求得二個(gè)半平面的一個(gè)法向量即可，由于AE⊥平面ABCD，則就是平面ABCD的法向量．B（3，0，0），D（0，3，0），再求得平面EBD的一個(gè)法向量為，用向量的夾角公式求解．
（III）先求平面A₁BCD₁的法向量，再由點(diǎn)E和平面內(nèi)一點(diǎn)構(gòu)建向量，利用向量距離公式求解．
解答：解：（I）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，取BD的中點(diǎn)O，
連接EO．
A₁（0，0，4），C（3，3，0），
E（0，0，2），O（（2分）
，
∵，∴A₁C∥EO．
∵EO?平面BED，A₁C?平面BED，
∴A₁C∥平面BED．（5分）
（II）由于AE⊥平面ABCD，
則就是平面ABCD的法向量．（6分）
B（3，0，0），D（0，3，0），

設(shè)平面EBD的法向量為．
由得
令z=3，則．（7分）
．
∴二面角E-BD-A的大小為arrccos．（9分）
（III）D₁（0，3，4），則，
設(shè)平面A₁BCD₁的法向量為．
即
解得令z'=3，則=（-4，0，-3）．
即點(diǎn)E到平面A₁BCD₁的距離是．
又．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用空間坐標(biāo)法來求二面角，線面平行，點(diǎn)到平面的距離等，作為向量法在解決立體幾何中的平行，垂直，角和距離有不可比擬的優(yōu)越性，要靈活運(yùn)用．