Question

在計算“1×2+2×3+…n（n+1）”時，先改寫第k項：
k（k+1）=

1

3

[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，由此得1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2），2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3），．．
n（n+1）=

1

3

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，相加，得1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

n(n+1)(n+2)
（1）類比上述方法，請你計算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”的結果；
（2）試用數(shù)學歸納法證明你得到的等式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中給出的在計算“1×2+2×3+…+n（n+1）”時化簡思路，對1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）的計算結果進行化簡，處理的方法就是類比k（k+1）=

1

3

[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，將n（n+1）（n+2）進行合理的分解．
（2）直接利用數(shù)學歸納法的證明步驟，先證明n=1時，結論成立，再設當n=k（k∈N^*）時，等式成立，利用假設證明n=k+1時，等式成立即可．．

解答：解：（1）∵n（n+1）（n+2）=

1

4

[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]
∴1×2×3=

1

4

（1×2×3×4-0×1×2×3）
2×3×4=

1

4

（2×3×4×5-1×2×3×4）
…
n（n+1）（n+2）=

1

4

[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

1

4

[（1×2×3×4-0×1×2×3）+（2×3×4×5-1×2×3×4）+…+n×（n+1）×（n+2）×（n+3）-（n-1）×n×（n+1）×（n+2）=

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）
（2）利用數(shù)學歸納法證：1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=

1

4

n（n+1）（n+2）（n+3）
①當n=1時，左邊=1×2×3，右邊=

1

4

×1×2×3×4=1×2×3，左邊=右邊，等式成立．
②設當n=k（k∈N^*）時，等式成立，
即1×2×3+2×3×4+…+k×（k+1）×（k+2）=

k(k+1)(k+2)(k+3)

4

．  
則當n=k+1時，
左邊=1×2×3+2×3×4+…+k×（k+1）×（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）
=

k(k+1)(k+2)(k+3)

4

+（k+1）（k+2）（k+3）
=（k+1）（k+2）（k+3）（

k

4

+1）
=

(k+1)(k+2)(k+3)(K+4)

4

=

(k+1)(k+1+1)(k+1+2)(k+1+3)

4

．
∴n=k+1時，等式成立．
由①、②可知，原等式對于任意n∈N^*成立．

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．（2）考查數(shù)學歸納法證明等式問題，證題的關鍵是利用歸納假設證明n=k+1時，等式成立，屬于中檔題．