Question

設m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，給出下列命題：（1）若m⊥α，n∥α，則m⊥n．（2）若m⊥n，n∥α，則m⊥α．（3）若m⊥α，α∥β，則m⊥β．（4）若m⊥α，m⊥β，則α∥β．其中正確命題的序號是    （寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

【答案】分析：由題意，（1）若m⊥α，n∥α，則m⊥n．此命題由線面垂直判斷線線垂直，由性質判斷即可
（2）若m⊥n，n∥α，則m⊥α．此命題由線線垂直，線面平行判斷線面垂直，由線面垂直的判定定理判斷即可；
（3）若m⊥α，α∥β，則m⊥β．此命題由線面垂直與面面平行判斷線面垂直，由線面垂直的條件判斷即可；
（4）若m⊥α，m⊥β，則α∥β． 此命題由線面垂直判斷面面平行，由面面平行的條件判斷即可．
解答：解：（1）若m⊥α，n∥α，則m⊥n．此命題正確，因為n∥α，知在面內必存在一線與n平行，由m⊥α知，此線與m垂直，故可得m⊥n；
（2）若m⊥n，n∥α，則m⊥α．此命題錯誤，因為m⊥n，n∥α只能得出m與面內有些線垂直，不能得出它垂直于面內任意一條直線，故不正確；
（3）若m⊥α，α∥β，則m⊥β．此命題正確，因為m⊥α，α∥β，一條直線垂直于兩平行平面中的一個，必垂直于另一個；
（4）若m⊥α，m⊥β，則α∥β．此命題正確，因為m⊥α，m⊥β，而垂直于同一直線的兩個平面必平行故可得結論；
綜上（1）（3）（4）是正確命題
故答案為（1）（3）（4）
點評：本題考查線線垂直，線面垂直，面面平行的判斷，解題的關鍵是熟練掌握判斷線線垂直，線面垂直，面面平行的條件，作出正確判斷，本題需要有著較好的空間感知能力，考查了推理判斷的能力，空間想像能力．