Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若f（x）=x，則稱(chēng)x為f（x）的“不動(dòng)點(diǎn)”，若f（f（x））=x，則稱(chēng)x為f（x）的“穩(wěn)定點(diǎn)”．函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}．
（Ⅰ）求證：A⊆B；
（Ⅱ）若f（x）=ax²-1（a∈R，x∈R），且A=B≠∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，x₀是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，問(wèn)x₀是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)嗎？若是，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明的理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分A=∅和A≠∅的情況，然后根據(jù)所給“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的定義來(lái)證明．
（Ⅱ）理解A=B時(shí)，它表示方程ax²-1=x與方程a（ax²-1）²-1=x有相同的實(shí)根，根據(jù)這個(gè)分析得出求出a的值．
（Ⅲ）用反證法證明x₀是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．即討論x₀＞f（x₀）和x₀＞f（x₀）的情況，并根據(jù)單調(diào)性推出其矛盾．

解答：解：（Ⅰ）若A=∅，則A⊆B顯然成立；若A≠∅，
設(shè)t∈A，則f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t，
∴t∈B，故A⊆B．（3分）
（Ⅱ）∵A≠∅，∴ax²-1=x有實(shí)根，
∴a≥-

1

4

．又A⊆B，所以a（ax²-1）²-1=x，
即a³x⁴-2a²x²-x+a-1=0的左邊有因式ax²-x-1，
從而有（ax²-x-1）（a²x²+ax-a+1）=0．（6分）
∵A=B，
∴a²x²+ax-a+1=0要么沒(méi)有實(shí)根，要么實(shí)根是方程ax²-x-1=0的根．若a²x²+ax-a+1=0沒(méi)有實(shí)根，
則a＜

3

4

；若a²x²+ax-a+1=0有實(shí)根且實(shí)根是方程ax²-x-1=0的根，
則由方程ax²-x-1=0，得a²x²=ax+a，代入a²x²+ax-a+1=0，有2ax+1=0．
由此解得x=-

1

2a

，再代入得

1

4a

+

1

2a

-1=0，
由此a=

3

4

，故a的取值范圍是[-

1

4

，

3

4

]．（10分）
（Ⅲ）由題意：x₀是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)則f（f（x₀））=x₀，設(shè)f（x₀）＞x₀，f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)，
則f（f（x₀））＞f（x₀），
所以x₀＞f（x₀），矛盾．（12分）
若x₀＞f（x₀），f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)，則f（x₀）＞f（f（x₀）），
所以f（x₀）＞x₀，矛盾（15分）
故f（x₀）=x₀，
所以x₀是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)新概念的理解和運(yùn)用的能力，同時(shí)考查了集合間的關(guān)系和方程根的相關(guān)知識(shí)，解題過(guò)程中體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．