Question

已知定圓A：（x+1）²+y²=16，圓心為A，動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)B（1，0）且和圓A相切，動(dòng)圓的圓心M的軌跡記為C．
（I）求曲線C的方程；
（II）若點(diǎn)P（x，y）為曲線C上一點(diǎn)，求證：直線l：3xx+4yy-12=0與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（I）依據(jù)條件判斷定圓和動(dòng)圓相內(nèi)切，再依據(jù)橢圓的定義寫出曲線C的方程．
（II）分類討論，當(dāng)y=0時(shí)，檢驗(yàn)直線l：3xx+4yy-12=0與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)y≠0時(shí)，把直線和橢圓方程聯(lián)立方程組，利用點(diǎn)P（x，y）為曲線C上一點(diǎn)，求出只有一個(gè)解，并說(shuō)明直線和橢圓只有唯一交點(diǎn)．
解答：解：（I）圓A的圓心為A（-1，0），半徑r₁=4，
設(shè)動(dòng)圓M的圓心M（x，y），半徑為r₂，依題意有，r₂=|MB|．
由|AB|=2，可知點(diǎn)B在圓A內(nèi)，從而圓M內(nèi)切于圓A，
故|MA|=r₁-r₂，即|MA|+|MB|=4，
所以，點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，
設(shè)橢圓方程為，由2a=4，2c=2，可得a²=4，b²=3．
故曲線C的方程為（6分）
（II）解：當(dāng)，當(dāng)x=2，y=0時(shí)，直線l的方程為x=2，
直線l與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)（2，0）．
當(dāng)x=-2，y=0時(shí)，直線l的方程為x=-2，
直線l與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)（-2，0）．
，

消去y，得（4y²+3x³）x²-24xx+48-16y²=0．①
由點(diǎn)P（x，y）為曲線C上一點(diǎn)，
于是方程①可以化簡(jiǎn)為x²-2xx+x²=0．解得x=x，
，
故直線l與曲線C有且有一個(gè)交點(diǎn)P（x，y），
綜上，直線l與曲線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)為P（x，y）．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩圓的位置關(guān)系、用定義法求軌跡方程，直線和橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用．