已知函數(shù)f（x）=
1
2x-1
+a是奇函數(shù)．（1）求常數(shù)a的值；（2）判斷f（x）的單調(diào)性并給出證明．
（1）函數(shù)f（x）=
1
2x-1
+a是奇函數(shù)，可得f（x）+f（-x）=0
∴
1
2x-1
+a+
1
2-x-1
+a=0，解得a=
1
2

∴函數(shù)f（x）=
1
2x-1
+
1
2

（2）由（1）得f（x）=
1
2x-1
+
1
2
在（-∞，0）與（0，+∞）上都是減函數(shù)，證明如下
任取x1＜x2則
f（x1）-f（x2）=
1
2x1-1
-
1
2x2-1
=
2x2-2x1
(2x1-1)(2x2-1)

當(dāng)x1，x2∈（0，+∞）時(shí)，2x1-1＞0，2x2-1＞0，2x2-2x2＞0，所以
2x2-2x1
(2x1-1)(2x2-1)
＞0，
有f（x1）-f（x2）＞0
當(dāng)x1，x2∈（-∞，0）時(shí)，2x1-1＜0，2x2-1＜0，2x2-2x1＞0，所以
2x2-2x1
(2x1-1)(2x2-1)
＞0，
有f（x1）-f（x2）＞0
 綜上知，
f（x）=
1
2x-1
+
1
2
在（-∞，0）與（0，+∞）上都是減函數(shù)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
|x|
，g（x）=1+
x+|x|
2
，若f（x）＞g（x），則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，-1）∪（0，1）
B、(-∞，-1)∪(0，
-1+
5
2
)
C、(-1，0)∪(
-1+
5
2
，+∞)
D、(-1，0)∪(0，
-1+
5
2
)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∉Q
，則f[f（π）]=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1-x
ax
+lnx(a＞0)
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在[
1
2
，2]上的最大值和最小值；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，求證對任意大于1的正整數(shù)n，lnn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+cos2x-2sin2（x-
π
6
），其中x∈R，則下列結(jié)論中正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+logax（a＞0，a≠1），滿足f（9）=3，則f-1（log92）的值是（　　）

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