Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，設點F（0，p）（p＞0），直線l：y=-p，點p在直線l上移動，R是線段PF與x軸的交點，過R、P分別作直線l₁、l₂，使l₁⊥PF，l₂⊥l l₁∩l₂=Q．
（Ⅰ）求動點Q的軌跡C的方程；
（Ⅱ）在直線l上任取一點M做曲線C的兩條切線，設切點為A、B，求證：直線AB恒過一定點；
（Ⅲ）對（Ⅱ）求證：當直線MA，MF，MB的斜率存在時，直線MA，MF，MB的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列．

Answer 1

（Ⅰ）解：依題意知，點R是線段FP的中點，且RQ⊥FP，
∴RQ是線段FP的垂直平分線．---------------------------------------（2分）
∴|PQ|=|QF|．
∴動點Q的軌跡C是以F為焦點，l為準線的拋物線，其方程為：x²=4py（p＞0）．--------------------（4分）
（Ⅱ）證明：設M（m，-p），兩切點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由x²=4py得，求導得y′=．
∴兩條切線方程為 ①
②-------------------（6分）
對于方程①，代入點M（m，-p）得，，
又
∴
整理得：
同理對方程②有
即x₁，x₂為方程x²-2mx-4p²=0的兩根．
∴x₁+x₂=2m，x₁x₂=-4p² ③-----------------------（8分）
設直線AB的斜率為k，=
所以直線AB的方程為，展開得：，
代入③得：
∴直線恒過定點（0，p）．-------------------------------------（10分）
（Ⅲ） 證明：由（Ⅱ）的結(jié)論，設M（m，-p），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
且有x₁+x₂=2m，x₁x₂=-4p²，
∴k_MA=，k_MB=----------------------------（11分）
∴===-------（13分）
又∵=-，
∴
即直線MA，MF，MB的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列．----------------------------（14分）
分析：（Ⅰ）先判斷RQ是線段FP的垂直平分線，從而可得動點Q的軌跡C是以F為焦點，l為準線的拋物線；
（Ⅱ）設M（m，-p），兩切點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出切線方程，從而可得x₁，x₂為方程x²-2mx-4p²=0的兩根，進一步可得直線AB的方程，即可得到直線恒過定點（0，p）；
（Ⅲ） 由（Ⅱ）的結(jié)論，設M（m，-p），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且有x₁+x₂=2m，x₁x₂=-4p²，從而可得k_MA=，k_MB=，由此可證直線MA，MF，MB的斜率的倒數(shù)成等差數(shù)列．
點評：本題考查拋物線的定義，考查直線恒過定點，考查直線的向量，解題的關鍵是正確運用韋達定理，屬于中檔題．