Question

（本小題滿分12分）已知平面上的動點及兩定點、，直線、的斜率分別為、，且，設(shè)動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點的直線與曲線交于兩點M、N，過點作軸，交曲線于點.求證：直線過定點，并求出定點坐標.

Answer 1

（1）由題知，且，，則.

整理得曲線的方程為 5分

（2）設(shè)直線與軸交于，

則直線的方程為，記，，由對稱性知，

由，消去得， 7分

所以，且，， 9分

由三點共線知，，即，所以，

整理得， 10分

所以，，即，解得，

所以直線過定點 12分

【解析】

試題分析（1）由題知x≠±2，且，，由直接法求出曲線C的方程．

（2）設(shè)NQ與x軸交于D（t，0），則直線NQ的方程為x=my+t（m≠0），記N（x1，y1），Q（x2，y2），由對稱性知M（x2，﹣y2），由，得（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12=0，由此利用根的判別式，韋達定理、三點共線，結(jié)合已知條件能證明直線NQ過定點D（1，0）．

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題．