Question

已知函數(shù)f（x）=-alnx（a∈R）．
（1）若f（x）在x=2時(shí)取得極值，求a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（1，∵x=2是一個(gè)極值點(diǎn)，
∴，∴a=4．
此時(shí)=．
∵f（x）的定義域是{x|x＞0}，
∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0．
∴當(dāng)a=4時(shí)，x=2是f（x）的極小值點(diǎn)，∴a=4．（6分）
（2）∵，∴當(dāng)a≤0時(shí)，
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．
當(dāng)a＞0時(shí)，=，
令f′（x）＞0有，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，+∞）；
令f′（x）＜0有，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為．（12分）
分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），根據(jù)x=2是f′（x）一個(gè)極值點(diǎn)，利用f′（2）=0，可得a=4，再檢驗(yàn)當(dāng)a=4時(shí)，x=2是f（x）的極小值點(diǎn)符合題意；
（2）討論導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，可得當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，屬于中檔題．做題時(shí)注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，以及取極值時(shí)的檢驗(yàn)．