Question

設f（x）是定義在R上的函數(shù)，若f（0）=2008，且對任意x∈R，滿足f（x+2）-f（x）≤3•2^x，f（x+6）-f（x）≥63•2^x，則f（2008）=．

Answer 1

【答案】分析：由題設條件，可根據(jù)題設中的兩個不等式來限定f（2008）的取值范圍，從而確定其值，
解答：解：由題意f（2008）≤f（2006）+3×2²⁰⁰⁶≤f（2004）+3×（2²⁰⁰⁶+2²⁰⁰⁴）≤…≤f（0）+3×（2²⁰⁰⁶+2²⁰⁰⁴+…+2 ²+2 ⁰）=2008+3×=2007+2²⁰⁰⁸①
f（2008）≥f（2002）+63•2²⁰⁰²，≥f（1996）+63×（2²⁰⁰²+2¹⁹⁹⁶）≥f（1990）+63（2²⁰⁰²+2¹⁹⁹⁶+2¹⁹⁹⁰）≥…≥f（4）+63（2²⁰⁰²+2¹⁹⁹⁶+2¹⁹⁹⁰+…+2⁴）
=f（4）+63×=f（4）+2²⁰⁰⁸-2⁴  ②
又已知，又由f（x+2）-f（x）≤3•2 ^x，f（x+6）-f（x）≥63•2 ^x可得f（x+6）-f（x+2）≥60•2 ^x=15•2 ^x+2，即f（x+4）-f（x）≥15•2 ^x，
再由f（x+2）-f（x）≤3•2^x，得f（x+4）-f（x+2）≤3•2 ^x+2，兩者相加得，得f（x+4）-f（x）≤15•2^x，所以f（x+4）-f（x）=15•2^x，
∴f（4）-f（0）=15•2=15
∴f（4）=f（0）+15=2008+15=2023，代入②
解得f（2008）≥2007+2²⁰⁰⁸③
由①③得（2008）=2007+2²⁰⁰⁸
故答案為：2007+2²⁰⁰⁸
點評：本題考查抽象函數(shù)及其應用，解題的關鍵是根據(jù)題設中的兩個不等式得出f（2008）的取值范圍，根據(jù)其范圍判斷出函數(shù)值．本題比較抽象，下手角度很特殊，用到了歸納法的思想，利用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律在數(shù)學解題中經(jīng)常用到．本題易因為找不到方法而導致出錯．