Question

在ABCD中，∠A=60°，AD=l，AB=2，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別為DC和AB的中點(diǎn)，以MN為棱將ABCD折成60°的二面角A—MN—Cˊ，其中A、D位置不動(dòng)，折后B、c的位置分別為Bˊ、Cˊ．

(1)求證：MN⊥BˊD；

(2)求三棱柱ABˊN—DCˊM的體積．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：如圖，連結(jié)BD交MN于E， ∵M(jìn)、N分別為AB、DC的中點(diǎn)， ∴MN∥AD，而AD=1，且AB=2，∠A=60°， ∴AD⊥DB． ∴DB⊥MN，且BE=DE，則將ABCD折成以MN為棱的二面角，則BˊE⊥MN，DE⊥MN．∴MN⊥平面BˊDE． 又BˊD平面BˊDE,∴MN⊥BˊD． (2)解：如圖，由(1)知，∠DEBˊ為二面角A—MN—Cˊ的平面角， ∴∠DEBˊ=60°，且平面BˊED為棱柱的直截面， ∴V三棱柱=S△BˊDE·MN=DE·BˊE·sinBˊED·MN．在Rt△BDA中，AB=2，AD=1，∠A=60°，∴DB=， ∴DE=BE=， ∴V三棱柱=·

提示：

點(diǎn)評：棱柱的體積等于棱柱的高與底面面積的積，棱柱的體積也等于棱柱的直截面的面積與側(cè)棱長的積．