Question

（2007廣州市水平測(cè)試）如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠BAD=60°，PA=PD，E為PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥平面EBD；
（2）求證：△PBC是直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，AC與BD相交于點(diǎn)O，連接OE，則O為AC的中點(diǎn)，證明EO∥PA，然后證明PA∥平面EBD．
（2）設(shè)F為AD的中點(diǎn)，連接PF，BF．證明ABD是等邊三角形．然后證明PB⊥BC．即可推出△PBC是直角三角形．
解答：（本小題滿分14分）
證明：（1）連接AC，AC與BD相交于點(diǎn)O，連接OE，則O為AC的中點(diǎn)．
∵E為PC的中點(diǎn)，
∴EO∥PA．
∵EO?平面EBD，PA?平面EBD，
∴PA∥平面EBD．
（2）設(shè)F為AD的中點(diǎn)，連接PF，BF．
∵PA=PD，∴PF⊥AD．
∵ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形．
∴BF⊥AD．∵PF∩BF=F，
∴AD⊥平面PBF．
∵BC∥AD，
∴BC⊥平面PBF．
∵PB?平面PBF，
∴PB⊥BC．
∴△PBC是直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想像能力和推理論證能力．