Question

對定義在[0，1]上，并且同時滿足以下兩個條件的函數f（x）稱為G函數．
①對任意的x∈[0，1]，總f（x）≥0；
②當x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時，總有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂成立．
已知函數g（x）=x²與h（x）=a&•2^x-1是定義在[0，1]上的函數．
（1）試問函數g（x）是否為G函數？并說明理由；
（2）若函數h（x）是G函數，求實數a的值；
（3）在（2）的條件下，討論方程g（2^x-1）+h（x）=m（m∈R）解的個數情況．

Answer 1

解：（1）當x∈[0，1]時，總有g（x）=x²≥0，滿足①，…（1分）
當x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時，g（x₁+x₂）=x₁²+x₂²+2x₁x₂≥x₁²+x₂²=g（x₁）+g（x₂），滿足②…（4分）
故函數g（x）是G函數；
（2）若a＜1時，h（0）=a-1＜0不滿足①，所以不是G函數；…（5分）
若a≥1時，h（x）在x∈[0，1]上是增函數，則h（x）≥0，滿足①…（6分）
由h（x₁+x₂）≥h（x₁）+h（x₂），得，
即，…（7分）
因為x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1
所以 x₁與x₂不同時等于1∴∴∴…（9分）
當x₁=x₂=0時，∴a≤1，…（11分）
綜合上述：a∈{1}…（12分）
（3）根據（2）知：a=1，方程為4^x-2^x=m，
由得　x∈[0，1]…（14分）
令2^x=t∈[1，2]，則…（16分）
由圖形可知：當m∈[0，2]時，有一解；
當m∈（-∞，0）∪（2，+∞）時，方程無解．…（18分）
分析：（1）對照定義，分別驗證即可；
（2）由于函數h（x）是G函數，對照定義分類討論：若a＜1時，h（0）=a-1＜0不滿足①，所以不是G函數；
若a≥1時，h（x）在x∈[0，1]上是增函數，則h（x）≥0，滿足①，由定義h（x₁+x₂）≥h（x₁）+h（x₂），則可化簡為，從而有a≤1，故可確定a的值；
（3）根據（2）知：a=1，方程為4^x-2^x=m，利用換元法，根據二次函數的圖象可進行討論．
點評：本題的考點是函數恒成立問題，主要考查新定義，關鍵是正確理解新定義，同時考查學生分析解決問題的能力，由一定的難度．