Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且橢圓上動點(diǎn)P到左焦點(diǎn)距離的最大值為2+

3

．
（I）求橢圓C的方程；
（II）斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，定點(diǎn)A（0，1），若|AM|=|AN|，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且橢圓上動點(diǎn)P到左焦點(diǎn)距離的最大值為2+

3

，建立方程組，求得幾何量，即可求橢圓C的方程；
（II）利用點(diǎn)差法，結(jié)合|AM|=|AN|，可得AE⊥MN，從而可得E的坐標(biāo)，利用E在橢圓內(nèi)部，建立不等式，即可求直線l的斜率k的取值范圍．

解答：解：（I）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，且橢圓上動點(diǎn)P到左焦點(diǎn)距離的最大值為2+

3

∴

c a = 3 2 a+c=2+ 3

，∴

c= 3 a=2

，∴b=1
∴橢圓C的方程為C：

x2

4

+y2=1…（4分）
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），其中點(diǎn)E（x₀，y₀），則

x 2 1 +4 y 2 1 =4 x 2 2 +4 y 2 2 =4

兩方程相減可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
∴x₀+4y₀k=0①
又AE⊥MN，故

y0-1

x0

=-

1

k

，即x₀+ky₀=k②
由①②知，

x0= 4k 3 y0=- 1 3

，即E(

4k

3

，-

1

3

)，…（8分）
∵E在橢圓內(nèi)部，∴

4k2

9

+

1

9

＜1
∴k²＜2…（10分）
又k≠0，故k∈(-

2

，0)∪(0，

2

)…（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，正確運(yùn)用點(diǎn)差法是關(guān)鍵．