Question

函數f（x）=log_a（x-3a）（a＞0，且a≠1），當點P（x，y）是函數y=f（x）圖象上的點時，Q（x-2a，-y）是函數y=g（x）圖象上的點．
（1）寫出函數y=g（x）的解析式．?
（2）當x∈[a+2，a+3]時，恒有|f（x）-g（x）|≤1，試確定a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設P（x₀，y₀）是y=f（x）圖象上點，令Q（x，y），則，
∴∴-y=log_a（x+2a-3a），∴y=log_a（x＞a）
（2）由對數函數的定義得
∴x＞3a
∵f（x）與g（x）在[a+2，a+3]上有意義．
∴3a＜a+2
∴0＜a＜1（6分）
∵|f（x）-g（x）|≤1恒成立?|log_a（x-3a）（x-a）|≤1恒成立．
對x∈[a+2，a+3]上恒成立，令h（x）=（x-2a）²-a²
其對稱軸x=2a，2a＜2，2＜a+2
∴當x∈[a+2，a+3]
h_min（x）=h（a+2），h_max=h（a+3）
∴原問題等價
分析：（1）由題設條件，點P（x，y）是函數y=f（x）圖象上的點時，Q（x-2a，-y）是函數y=g（x）圖象上的點．求解函數y=g（x）的解析式可用代入法．
（2）由x∈[a+2，a+3]，及兩對數函數有意義可以得到0＜a＜1，由此可以得到對數函數是減函數，由單調性將恒等式轉化為一元二次不等式，構造函數h（x）=（x-2a）²-a²，求出h（x）在定義域[a+2，a+3]上的最大值與最小值，再一次將問題轉化為，即得參數a的不等式組，解之求得參數的范圍．
點評：本題考點是指數函數綜合題，考查根據指數函數的相關性質求參數范圍，解決本題關鍵是根據單調性將問題轉化關于參數的方程或不等式組，恒成立問題求參數其規(guī)律基本上都是將問題如本題一樣轉化，請認真體會本解法中問題轉化的依據與轉化的方式．