Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+（3-6a）x+12a-4（a∈R）
（Ⅰ）證明：曲線y=f（x）在x=0的切線過點(diǎn)（2，2）；
（Ⅱ）若f（x）在x=x₀處取得極小值，x₀∈（1，3），求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+6ax+3-6a
由f（0）=12a-4，f′（0）=3-6a，
可得曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為y=（3-6a）x+12a-4，
當(dāng)x=2時(shí)，y=2（3-6a）+12a-4=2，可得點(diǎn)（2，2）在切線上
∴曲線y=f（x）在x=0的切線過點(diǎn)（2，2）
（Ⅱ）由f′（x）=0得
x²+2ax+1-2a=0…（1）
方程（1）的根的判別式

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）沒有極小值
②當(dāng)或時(shí)，
由f′（x）=0得
故x₀=x₂，由題設(shè)可知
（i）當(dāng)時(shí)，不等式沒有實(shí)數(shù)解；
（ii）當(dāng)時(shí)，不等式
化為，
解得
綜合①②，得a的取值范圍是
分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）在x=0處的導(dǎo)數(shù)和f（0）的值，結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式方程，可求切線方程；
（Ⅱ）f（x）在x=x₀處取得最小值必是函數(shù)的極小值，可以先通過討論導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)存在性，得出函數(shù)有極小值的a的大致取值范圍，然后通過極小值對(duì)應(yīng)的x₀∈（1，3），解關(guān)于a的不等式，從而得出取值范圍
點(diǎn)評(píng)：將字母a看成常數(shù)，討論關(guān)于x的三次多項(xiàng)式函數(shù)的極值點(diǎn)，是解決本題的難點(diǎn)，本題中處理關(guān)于a的無理不等式，計(jì)算也比較繁，因此本題對(duì)能力的要求比較高．