Question

若不等式|mx³-lnx|≥1（m＞0），對?x∈（0，1]恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)，結(jié)合不等式恒成立，利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的最值即可．

解答： 解：|mx³-lnx|≥1對任意x∈（0，1]都成立
等價(jià)為mx³-lnx≥1，或mx³-lnx≤-1，
即m≥

1+lnx

x3

，記為f（x），或m≤

lnx-1

x3

，記為g（x），
f'（x）=

1 x •x3-3x2(1+lnx)

x6

=

-2-3lnx

x4

，
由f'（x）=

-2-3lnx

x4

=0，
解得lnx=-

2

3

，即x=e-

2

3

，
由f（x）＞0，解得0＜x＜e-

2

3

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f（x）＜0，解得x＞e-

2

3

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=e-

2

3

時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，同時(shí)也是最大值f（e-

2

3

）=

1+lne- 2 3

(e- 2 3 )3

=

1- 2 3

e-2

=

1

3

e2，此時(shí)m≥

1

3

e2，
若m≤

lnx-1

x3

，
∵當(dāng)x=1時(shí)，

lnx-1

x3

=0，
∴當(dāng)m＞0時(shí)，不等式m≤

lnx-1

x3

不恒成立，
綜上m≥

1

3

e2．
故答案為：m≥

1

3

e2．

點(diǎn)評：本題主要考查不等式恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和最值之間的關(guān)系，利用參數(shù)分離法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．