如圖,四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=2,∠PDA=45°,點(diǎn)E、F分別為棱AB、PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AF∥平面PCE;
(Ⅱ)求三棱錐C-BEP的體積.
分析:(Ⅰ)欲證AF∥平面PCE,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AF與平面PCE內(nèi)一直線平行,取PC的中點(diǎn)G,連接FG、EG,AF∥EG又EG?平面PCE,AF?平面PCE,滿足定理?xiàng)l件;
(Ⅱ)三棱錐C-BEP的體積可轉(zhuǎn)化成三棱錐P-BCE的體積,而PA⊥底面ABCD,從而PA即為三棱錐P-BCE的高,根據(jù)三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.
解答:解:證明:(Ⅰ)取PC的中點(diǎn)G,
連接FG、EG
∴FG為△CDP的中位線
∴FG
.
.
1
2
CD
∵四邊形ABCD為矩形,
E為AB的中點(diǎn)
∴AE
.
.
1
2
CD
∴FG
.
.
AE
∴四邊形AEGF是平行四邊形(2分)
∴AF∥EG又EG?平面PCE,AF?平面PCE
∴AF∥平面PCE(4分)
(Ⅱ)∵三棱錐C-BEP即為三棱錐P-BCE
∵PA⊥底面ABCD,即PA是三棱錐P-BCE的高
在Rt△BCE中,BE=1,BC=2,(10分)
∴三棱錐C-BEP的體積
VC-BEP=VP-BCE=
1
3
S△BCE•PA
=
1
3
1
2
•BE•BC•PA=
1
3
1
2
•1•2•2=
2
3
(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與平面平行的判定,以及平面與平面垂直的判定和三棱錐的體積,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,
E是PC的中點(diǎn).求證:
(Ⅰ)CD⊥AE;
(Ⅱ)PD⊥平面ABE.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90°,M為AP的中點(diǎn).
(1)求證:AD⊥PB;
(2)求三棱錐P-MBD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形,AB=2,BC=
2
,且側(cè)面PAB是正三角形,平面PAB⊥平面ABCD.
(1)求證:PD⊥AC;
(2)在棱PA上是否存在一點(diǎn)E,使得二面角E-BD-A的大小為45°,若存在,試求
AE
AP
的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,且PA=AB=1,AD=
3
,點(diǎn)F是PB中點(diǎn).
(Ⅰ)若E為BC中點(diǎn),證明:EF∥平面PAC;
(Ⅱ)若E是BC邊上任一點(diǎn),證明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
,求直線PA與平面PDE所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,四棱錐P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
2
,設(shè)PC與AD的夾角為θ.
(1)求點(diǎn)A到平面PBD的距離;
(2)求θ的大。划(dāng)平面ABCD內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ,求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程.

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