Question

22、數列{a_n}和{b_n}適合下列關系式a_n=5a_n-1-6b_n-1，b_n=3a_n-1-4b_n-1，且a₁=a，b₁=b，求通項a_n和b_n．

Answer 1

分析：把題設中的等式相減，求得a_n-b_n=2a_n-1-b_n-1推斷出數列{a_n-b_n}為等比數列，公比為2，進而求得數列{a_n-b_n}的通項公式，代入到a_n=5a_n-1-6b_n-1中，整理求得a_n=b_n+（a-b）2^n-1，進而根據a_n=5a_n-1-6b_n-1，求得b_n=-b_n-1+3（a-b）2^n-2，設c_n=b_n-（a-b）2^n-1，推斷出c_n=-c_（n-1），判斷出數列{c_n}為等比數列，根據首項和公比求得其通項公式，則b_n可得，進而利用a_n=b_n+（a-b）2^n-1求得a_n．

解答：解：∵a_n=5a_n-1-6b_n-1，b_n=3a_n-1-4b_n-1，
兩式相減得，a_n-b_n=2a_n-1-b_n-1
∴數列{a_n-b_n}為等比數列，公比為2
∴a_n-b_n=（a₁-b₁）2^n-1
=（a-b）2^n-1
∴a_n=b_n+（a-b）2^n-1
a_n-1=b_n-1+（a-b）2^n-2
∴b_n+（a-b）2^n-1=5[b_n-1+（a-b）2^n-2）]-6b_n-1
bn=-b_n-1+3（a-b）2^n-2
設c_n=b_n-（a-b）2^n-1，c₁=b₁-（a-b）=2b-a
c_n=-c_（n-1）
∴c_n=c₁（-1）^n-1=（2b-a）（-1）^n-1
即b_n-（a-b）2^n-1=c_n=（2b-a）（-1）^n-1
b_n=（a-b）2^n-1+（2b-a）（-1）^n-1
∴a_n=b_n+（a-b）2^n-1=（a-b）2ⁿ+（2b-a）（-1）^n-1
∴a_n=（a-b）2ⁿ+（2b-a）（-1）^n-1
bn=（a-b）2^n-1+（2b-a）（-1）^n-1

點評：本題主要考查了數列的遞推式．通過遞推式求數列的通項公式是高考中必考的內容，平時應多注意訓練．