直線與橢圓相交于，兩點，為坐標原點.

（Ⅰ）當點的坐標為，且四邊形為菱形時，求的長；

（Ⅱ）當點在上且不是的頂點時，證明：四邊形不可能為菱形.

 

【答案】

 利用橢圓的對稱性，結(jié)合圖形完成第(I)小題.設出直線方程，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，設而不求，結(jié)合菱形的特點進行判斷.

【解析】 (I) 橢圓W：的右頂點，因為四邊形OABC為菱形，所以和互相垂直平分.

所以可設，代入橢圓方程得，解得.

所以菱形OABC的面積為.

(II)假設四邊形OABC為菱形.

因為點B不是W的頂點，且直線AC不過原點，所以可設AC的方程為y=kx+m,k≠0,m≠0..

由消去y并整理得.

設,則，，

所以AC的中點.

因為M為AC和OB的交點，所以直線OB的斜率為.

因為，所以AC和OB不垂直.

所以四邊形OABC不是菱形，與假設矛盾.

所以當B不是W的頂點，四邊形OABC不可能是菱形.

【考點定位】本題考查了橢圓的性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系.通過整體代換，設而不求，考查了數(shù)據(jù)處理能力和整體思想的應用.

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

以知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個焦點分別為F1（-c，0）和F2（c，0）（c＞0），過點E(
a2
c
，0)的直線與橢圓相交于A，B兩點，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|．
（1）求橢圓的離心率；
（2）求直線AB的斜率；
（3）設點C與點A關(guān)于坐標原點對稱，直線F2B上有一點H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圓上，求
n
m
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設點M（2，0），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線l1與橢圓相交于A、B兩點，過AB的中點N作直線l2與y軸交于點P，D為N在直線l上的射影，若|ND|、
1
2
|AB|、|MP|成等比數(shù)列，求直線l2的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）（c＞0），過點E（
a2
c
，0）的直線與橢圓相交于點A，B兩點，且F1∥F2B，|F1A|=2|F2B|
（Ⅰ）求橢圓的離心率
（Ⅱ）直線AB的斜率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）在平面直角坐標系中，已知焦距為4的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)的左、右頂點分別為A、B，橢圓C的右焦點為F，過F作一條垂直于x軸的直線與橢圓相交于R、S，若線段RS的長為
10
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C上存在兩個不同的點關(guān)于直線l：y=9x+m對稱，求實數(shù)m的取值范圍．
（3）若P為橢圓C在第一象限的動點，過點P作圓x2+y2=5的兩條切線PA、PB，切點為A、B，直線AB與x軸、y軸分別交于點M、N，求△MON（O為坐標原點）面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（13分）設直線與橢圓相交于、兩個不同的點，與軸相交于點。

（1）證明：；

（2）若是橢圓的一個焦點，且，求橢圓的方程。

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