Question

（選修4-2：矩陣與變換）已知二階矩陣M有特征值λ=4及對應(yīng)的一個特征向量

ξ

=

.

1   1

.

，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，1）變換成（-2，4）．
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）求直線l：x-y+1=0在矩陣M的作用下的直線l′的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設(shè)矩陣M=

a b c d

，這里a，b，c，d∈R，由二階矩陣M有特征值λ=4、對應(yīng)的一個特征向量、矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，1）換成（-2，4），得到關(guān)于a，b，c，d的方程組，即可求得矩陣M；
（Ⅱ）設(shè)出點(diǎn)（x，y）是直線l上的任一點(diǎn)，其在矩陣M的變換下對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x′，y′），根據(jù)變換前后寫出關(guān)系式，整理出要求的直線l′的方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)矩陣M=

a b c d

，
由題意得：

a b c d

 

1   1

=4

1   1

=

4   4

，即

a+b=4 c+d=4

，①
又由題意得：

a b c d

 

-1   1

=

-2   4

，即

-a+b=-2 -c+d=4

，②
聯(lián)立①②，可解得，a=3，b=1，c=0，d=4，
故M=

3 1 0 4

．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)（x，y）是直線l上任一點(diǎn)，其在矩陣M的變換下對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x′，y′），
∴

3 1 0 4

 

x   y

=

x′   y′

，即

3x+y=x′ 4y=y′

⇒

x= 1 3 x′- 1 12 y′ y= 1 4 y′

，
由題意得：點(diǎn)(

1

3

x′-

1

12

y′ ，

1

4

y′)在直線l上，
∴點(diǎn)(

1

3

x′-

1

12

y′ ，

1

4

y′)代入直線l的方程后，化簡可得：x′-y′+3=，即x-y+3=0．
∴直線l：x-y+1=0在矩陣M的作用下的直線l′的方程為x-y+3=0．

點(diǎn)評：本題考查矩陣的特征向量和特征值的應(yīng)用，本題的運(yùn)算量較小，并且考查最基本的矩陣問題，在高考中若出現(xiàn)是一個送分題目．屬于基礎(chǔ)題．