Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足，則該數(shù)列的前10項(xiàng)的和為_(kāi)_______．

Answer 1

77
分析：根據(jù)數(shù)列遞推式，可得數(shù)列{a_2k-1}是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，因此a_2k-1=k，數(shù)列{a_2k}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此a_2k=2^k，從而可求數(shù)列的前10項(xiàng)的和．
解答：因?yàn)閍₁=1，a₂=2，所以a₃=（1+cos² ）a₁+sin² =a₁+1=2，a₄=（1+cos²π）a₂+sin²π=2a₂=4．
一般地，當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，a_2k+1=[1+cos² ]a_2k-1+sin² =a_2k-1+1，即a_2k+1-a_2k-1=1．
所以數(shù)列{a_2k-1}是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，因此a_2k-1=k．
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，a_2k+2=（1+cos² ）a_2k+sin² =2a_2k．
所以數(shù)列{a_2k}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此a_2k=2^k．
該數(shù)列的前10項(xiàng)的和為1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77
故答案為：77
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推式，注意數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的不同是解題的關(guān)鍵．