已知直線y=-x+1與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)相交于A、B兩點(diǎn).
(1)若橢圓的離心率為
3
3
,焦距為2,求線段AB的長(zhǎng);
(2)在(1)的橢圓中,設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1,求△ABF1的面積.
分析:(1)根據(jù)橢圓的離心率為
3
3
,焦距為2,建立方程,求得幾何量,從而可得橢圓方程,直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,可求線段AB的長(zhǎng);
(2)求出點(diǎn)F1到直線AB的距離,即可求△ABF1的面積.
解答:解:(1)∵橢圓的離心率為
3
3
,焦距為2,
c
a
=
3
3
,2c=2

∴c=1,a=
3

b=
a2-c2
=
2

∴橢圓的方程為
x2
3
+
y2
2
=1

直線y=-x+1與橢圓方程聯(lián)立,消去y可得:5x2-6x-3=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=
6
5
,x1x2=-
3
5

∴|AB|=
1+1
|x1-x2|=
2
×
(
6
5
)2+
12
5
=
8
3
5
;
(2)由(1)可知橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-1,0),直線AB的方程為x+y-1=0,
所以點(diǎn)F1到直線AB的距離d=
|-1-0-1|
2
=
2
,
又|AB|=
8
3
5
,
∴△ABF1的面積S=
1
2
|AB|•d=
1
2
×
8
3
5
×
2
=
4
6
5
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,考查三角形面積的計(jì)算,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知直線y=-x+1與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)相交于A、B兩點(diǎn).
(1)若橢圓的離心率為
3
3
,焦距為2,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若OA⊥OB(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)橢圓的離率e∈[
1
2
,
2
2
]
時(shí),求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知直線y=x-1與雙曲線交于兩點(diǎn)M,N 線段MN的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為-
2
3
雙曲線焦點(diǎn)c為
7
,則雙曲線方程為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知直線y=-x+1與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)相交于A、B兩點(diǎn).
(1)若橢圓的離心率為
3
3
,焦距為2,求橢圓方程;
(2)在(1)的條件下,求線段AB的長(zhǎng);
(3)若橢圓的離心率e∈(
2
2
,1)
,向量
OA
與向量
OB
互相垂直(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求橢圓的長(zhǎng)軸的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知直線y-x=1與曲線y=ex(其中e為自然數(shù)2.71828…)相切于點(diǎn)p,則點(diǎn)p的點(diǎn)坐標(biāo)為
(0,1)
(0,1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知直線y=-x+1與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
相交于A、B兩點(diǎn).
(1)若橢圓的離心率為
3
3
,焦距為2,求線段AB的長(zhǎng);
(2)(文科做)若線段OA與線段OB互相垂直(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求
1
a2
+
1
b2
的值;
(3)(理科做)若線段OA與線段OB互相垂直(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)橢圓的離心率e∈[
1
2
,
2
2
]
時(shí),求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值.

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