Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝lnx+﹣1，a∈R.

（1）當(dāng)a＞0時(shí)，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值為，求a的值；

（2）討論函數(shù)g（x）＝f′（x）﹣零點(diǎn)的個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）首先求解導(dǎo)函數(shù)，然后分類討論求解實(shí)數(shù)的值即可；（2）首先求解導(dǎo)函數(shù)，然后進(jìn)行二次求導(dǎo)，結(jié)合二階導(dǎo)函數(shù)的解析式討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)即可.

解：（1），

當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f’（x）＞0在（1，3）上恒成立，這時(shí)f（x）在[1，3]上為增函數(shù)，

∴f（x）min＝f（1）＝a﹣1，令得（舍去），

當(dāng)1＜a＜3時(shí)，由f’（x）＝0得，x＝a∈（1，3），

若x∈（1，a），有f’（x）＜0，f（x）在[1，a]上為減函數(shù)，

若x∈（a，3）有f’（x）＞0，f（x）在[a，3]上為增函數(shù)，

f’（x）min＝f（a）＝lna，令，得.

當(dāng)a≥3時(shí)，f’（x）＜0在（1，3）上恒成立，這時(shí)f（x）在[1，3]上為減函數(shù)，

∴，令得a＝4﹣3ln3＜2（舍去）.

綜上知.

（2）∵函數(shù)，

令g（x）＝0，得.

設(shè)，，

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，φ'（x）＞0，此時(shí)φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，φ’（x）＜0，此時(shí)φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

所以x＝1是φ（x）的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，因此x＝1也是（x）的最大值點(diǎn)，

φ（x）的最大值為.

又φ（0）＝0，結(jié)合φ（x）的圖象可知：

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）無零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）有且僅有一個零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）有兩個零點(diǎn)；

④a≤0時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個零點(diǎn)；

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）無零點(diǎn)；當(dāng)或a≤0時(shí)，函數(shù)g（x）有且僅有一個零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)g（x）有兩個零點(diǎn).