Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=2

2

，底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，E為CD的中點．
（1）求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）證明：CD⊥平面SAE；
（3）側(cè)棱SB上是否存在F，使得CF∥平面SAE？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）先確定四棱錐S-ABCD的高SA，然后求出底面面積和SA，即可求出體積；
（2）證明直線CD垂直平面SAE內(nèi)的兩條相交直線SA、AE，即可證明CD⊥平面SAE；
（3）F為側(cè)棱SB的中點時，CF∥平面SAE，只需證明CF∥NE，NE?平面SAE，CF不屬于平面SAE，即可．

解答：解：（1）∵SA=AB=ADF=2，SB=SD=2

2

，
則有SB²=SA²+AB²，SD²=SA²+AD²，
∴SA⊥AB，SA⊥AD又AD∩AB=A
∴SA⊥底面ABCD，（2分）
VS-ABCD=

1

3

S四邊形ABCD×SA=

1

3

×2×2×sin60°×2=

4 3

3

（4分）
（2）證明：∵ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴AB=AC=AD=2，
∴△ACD為正三角形，又E為CD的中點，∴CD⊥AE（6分）
∵SA⊥底面ABCD
∴SA⊥CD由CD⊥AE，SA⊥CD，SA∩AE=A，
∴CD⊥平面SAE（8分）
（3）F為側(cè)棱SB的中點時，CF∥平面SAE．（10分）
證法一：設(shè)N為SA的中點，連NF，NE，F(xiàn)C，則NF是△SAB的中位線，
∴NF∥AB且NF=

1

2

AB，又CE∥AB且CE═

1

2

AB，
∴CE∥NF且CE=NF，∴四邊形CENF為平行四邊形，
∴CF∥NE，∵NE?平面SAE，CF?平面SAE，
∴CF∥平面SAE．（12分）
證法二：設(shè)M為AB的中點，連MF，MC，F(xiàn)C，則MF是△SAB的中位線，
∴MF∥SA，∵SA?平面SAE，MF不屬于平面SAE，
∴MF∥平面SAE．
同理，由CM∥AE，得CM∥平面SAE．
又MF∩MC=M，∴平面FMC∥平面SAE，
又∵CF?平面FMC，∴CF∥平面SAE．（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，二面角的求法，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．