Question

函數f（x）=sinωxcosφ-cosωxsinφ（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象過點（

π

6

，0），且相鄰兩條對稱軸間距離為

π

2

．
（1）求f（x）的表達式；
（2）試求函數y=f²（

1

2

x）+

1

2

的單調增區(qū)間．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）化簡可得f（x）=sin（ωx-φ），由對稱軸可得ω=2，代點可得φ值，可得解析式（2）化簡可得y=1-

1

2

cos（2x-

2π

3

），由2kπ≤2x-

2π

3

≤2kπ+π解不等式可得單調區(qū)間．

解答： 解：（1）化簡可得f（x）=sinωxcosφ-cosωxsinφ=sin（ωx-φ），
∵相鄰兩條對稱軸間距離為

π

2

，∴

2π

ω

=π，解得ω=2，
∴f（x）=sin（2x-φ），又y=f（x）圖象過點（

π

6

，0），
∴2×

π

6

-φ=kπ，k∈Z，∴φ=

π

3

-kπ，
又0＜φ＜π，∴φ=

π

3

，∴f（x）=sin（2x-

π

3

）；
（2）可得y=f²（

1

2

x）+

1

2

=sin²（x-

π

3

）+

1

2

=

1-cos(2x- 2π 3 )

2

+

1

2

=1-

1

2

cos（2x-

2π

3

），
由2kπ≤2x-

2π

3

≤2kπ+π可得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，
∴函數y=f²（

1

2

x）+

1

2

的單調增區(qū)間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）

點評：本題考查三角函數的性質，涉及三角函數公式的應用，屬基礎題．