Question

如圖，正方形ABCD內(nèi)接于橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，且它的四條邊與坐標(biāo)軸平行，正方形MNPQ的頂點(diǎn)M，N在橢圓上，頂點(diǎn)P，Q在正方形的邊AB上，且A，M都在第一象限．
（I）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，且與y軸交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，正方形MNPQ的邊長(zhǎng)為2．
①求證：直線AM與△ABE的外接圓相切；
②求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（II）設(shè)橢圓的離心率為e，直線AM的斜率為k，求證：2e²-k是定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）①確定

AM

=(2，-1)，

AE

=(-2，-4)，可證AM⊥AE，即可證明直線AM與△ABE的外接圓相切；
②將A（2，2），M（4，1）代入橢圓方程，即可求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2s，正方形MNPQ的邊長(zhǎng)為2t，將A（s，s），M（s+2t，t），代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，從而可求e2=1-

b2

a2

=

5t-s

4t

，再求出k=

t-s

(s+2t)-s

=

t-s

2t

，即可證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：①依題意：A（2，2），M（4，1），E（0，-2）
∴

AM

=(2，-1)，

AE

=(-2，-4)，
∴

AM

•

AE

=0
∴AM⊥AE（3分）
∵AE為Rt△ABE外接圓直徑，
∴直線AM與△ABE的外接圓相切；（5分）
②解：由A（2，2），M（4，1）在橢圓上，可得

4 a2 + 4 b2 =1 16 a2 + 1 b2 =1

，解得

a2=20 b2=5

∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

20

+

y2

5

=1．（10分）
（Ⅱ）證明：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2s，正方形MNPQ的邊長(zhǎng)為2t，則A（s，s），M（s+2t，t），
代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1得

s2 a2 + s2 b2 =1 (s+2t)2 a2 + t2 b2 =1

，∴

1 a2 = s-t s2(s+3t) 1 b2 = 4t s2(s+3t)

∴e2=1-

b2

a2

=

5t-s

4t

 （14分）
∵k=

t-s

(s+2t)-s

=

t-s

2t

，
∴2e²-k=2為定值． （15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查定值的證明，解題的關(guān)鍵是待定系數(shù)法．