Question

對(duì)數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中， 對(duì)自然數(shù)，規(guī)定為的階差分?jǐn)?shù)列，其中．

（1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，試判斷，是否為等差或等比數(shù)列，為什么？

（2）若數(shù)列首項(xiàng)，且滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（3）對(duì)（2）中數(shù)列，是否存在等差數(shù)列，使得對(duì)一切自然都成立？若存在，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，則請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列；也是首項(xiàng)為2，公比為1的等比數(shù)列。

（2），，，，猜想：

證明：數(shù)學(xué)歸納法。

（3）組合數(shù)性質(zhì)證得，存在等差數(shù)列，，使得對(duì)一切自然都成 。

【解析】

試題分析：（1）， 1分

∴是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列。            2分

                3分

∴是首項(xiàng)為2，公差為0的等差數(shù)列；也是首項(xiàng)為2，公比為1的等比數(shù)列。

4分

（2），即，即，∴          6分

∵，∴，，，猜想：

7分

證明：ⅰ）當(dāng)時(shí)，；

ⅱ）假設(shè)時(shí)，            8分

時(shí)， 結(jié)論也成立

∴由ⅰ）、ⅱ）可知，           10分

（3），即

.   ...11分

∵       13分

∴存在等差數(shù)列，，使得對(duì)一切自然都成  14分

考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，數(shù)學(xué)歸納法，組合數(shù)的性質(zhì)。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，本題綜合性較強(qiáng)，將數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、組合數(shù)公式等綜合考查。利用“功能、猜想、證明”的方法，研究得到數(shù)列的特征，是常見(jiàn)題型。（3）小題利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及組合數(shù)公式，得到證明恒等式的目的。