Question

如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=

3

，BC=1，E為線段DC上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AE，K為垂足，當(dāng)E從D運(yùn)動(dòng)到C，則K所形成軌跡的長(zhǎng)度為

 

．

Answer 1

分析：由圖形的翻折過(guò)程知，若連接D'K，則D'KA=90°，故K點(diǎn)的軌跡是以AD'為直徑的圓上一弧，易知此圓半徑是

1

2

，求得此弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)，利用弧長(zhǎng)公式求出軌跡長(zhǎng)度．

解答：解：由題意，將△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AE，K為垂足，由翻折的特征知，連接D'K，則D'KA=90°，故K點(diǎn)的軌跡是以AD'為直徑的圓上一弧，易知此圓半徑是

1

2

，
如圖當(dāng)E與C重合時(shí)，AK=

1×1

4

=

1

2

，取O為AD′的中點(diǎn)，則△OAK是正三角形．
故∠K0A=

π

3

∴∠K0D'=

2π

3

其所對(duì)的弧長(zhǎng)為

2π

3

× 

1

2

=

π

3

故答案為：

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查多面體與旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是由題意得出點(diǎn)K的軌跡是圓上的一段弧，翻折問(wèn)題中要注意位置關(guān)系與長(zhǎng)度等數(shù)量的變與不變．本題比較抽象，考查了空間想像能力及根據(jù)所給的條件及圖形位置關(guān)系進(jìn)行推理論證的能力．