Question

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)P滿足∠F₁PF₂=

π

3

，且|OP|=

3

2

a，則該橢圓的離心率為（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  1

  4

• C、

  3 -1

  2

• D、

  2

  2

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：要求橢圓的離心率，即要求a，c的關(guān)系，首先由定義和余弦定理得到一個(gè)關(guān)系，再由中線長(zhǎng)公式得到一個(gè)關(guān)系，聯(lián)立可得．

解答： 解：設(shè)|PF₁|=x，|PF₂|=y，則x+y=2a；①
由余弦定理 cos∠F₁PF₂=

x2+y2-4c2

2xy

=

1

2

，
∴x²+y²-xy=4c²；②
∵中線長(zhǎng)公式OP²=

1

4

（PF₁²+PF₂²+2

PF1

•

.

PF2

）
∴

3a2

4

=

1

4

（x²+y²+2xycos∠F₁PF₂），
∴x²+y²=3a²-xy；③
∴①②③聯(lián)立代換掉x，y得：a²=4c²；
∴e=

c

a

=

1

2

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的定義，余弦定理及中線長(zhǎng)公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．