Question

過橢圓C：

x2

4

+

3y2

4

=1上的點(diǎn)A（1，1）作斜率為k與-k（k≠0）的兩條直線，分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)，則直線MN的斜率為

1

3

．

Answer 1

分析：由題意可設(shè)直線AM的方程分別為y-1=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯(lián)立方程

y-1=k(x-1) x2 4 + 3y2 4 =1

整理可得（1+3k²）x²+6k（1-k）x+3（1-k）²-4=0，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系可求x₁，代入直線方程可，y₁=k（x₁-1）+1可求y₁，同理可求x₂，y₂，代入斜率公式KMN=

y2-y1

x2-x1

可求

解答：解：由題意可設(shè)直線AM的方程分別為y-1=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
聯(lián)立方程

y-1=k(x-1) x2 4 + 3y2 4 =1

整理可得（1+3k²）x²+6k（1-k）x+3（1-k）²-4=0
∴x1+1=

6k(k-1)

1+3k2

x1=

3k2-6k-1

1+3k2

，y₁=k（x₁-1）+1=

(1+k)(1-3k)

1+3k2

同理可得x2=

3k2+6k-1

1+3k2

，y2=

(1-k)(1+3k)

1+3k2

∴KMN=

y2-y1

x2-x1

=

4k 1+3k2

12k 1+3k2

=

1

3

故答案為：

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用及直線的斜率公式的考查，屬于知識(shí)的綜合應(yīng)用．