Question

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD=

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，EF=2．
（1）求證：AE∥平面DCF；
（2）EF⊥平面DCE；
（3）當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角A-EF-C的大小為60°？

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CF并CF于G，連接DG，證明AE平行平面DCF內(nèi)的直線DG，即可證明AE∥平面DCF；
（2）證明EF垂直于平面DCE中的兩條相交直線，即可得出結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF交FE的延長(zhǎng)線于H，連接AH，說(shuō)明∠AHB為二面角A-EF-C的平面角，通過(guò)二面角A-EF-C的大小為60°，求出AB即可．

解答： （1）證明：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CF并CF于G，連接DG，可得四邊形BCGE為矩形．
又ABCD為矩形，
所以AD⊥∥EG，從而四邊形ADGE為平行四邊形，故AE∥DG．
因?yàn)锳E?平面DCF，DG?平面DCF，所以AE∥平面DCF．
（2）證明：因?yàn)椤螩EF=90°，所以EF⊥CE，
因?yàn)榫匦蜛BCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，
所以DC⊥平面BEFC，
所以DC⊥EF，
因?yàn)镈C∩CE=C，
所以EF⊥平面DCE；
（3）解：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥EF交FE的延長(zhǎng)線于H，連接AH．
由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，
從而AH⊥EF，
所以∠AHB為二面角A-EF-C的平面角．
在Rt△EFG中，因?yàn)镋G=AD=

3

，EF=2，所以∠CFE=60°，F(xiàn)G=1．
又因?yàn)镃E⊥EF，所以CF=4，
從而BE=CG=3．
于是BH=BE•sin∠BEH=

3 3

2

．
因?yàn)锳B=BH•tan∠AHB，
所以當(dāng)AB=

9

2

時(shí)，二面角A-EF-G的大小為60°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間線面平行于垂直，考查二面角A-EF-G的大小等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力．