Question

如圖，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)a，若經(jīng)過對(duì)角線AB₁且與對(duì)角線BC₁平行的平面交上底面一邊A₁C₁于點(diǎn)D．

(1)確定點(diǎn)D的位置，并證明你的結(jié)論；

(2)求二面角A₁－AB₁－D的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

思路　　假想與BC1平行的平面存在，則由性質(zhì)定理知BC1應(yīng)平行于交線． 　　解答　　(1)連A1B交AB1于點(diǎn)E， 　　連DE，由直線與平面平行的性質(zhì)定理可證BC1∥DE； 　　在△A1BC1中，∵E是A1B中點(diǎn)， 　　∴可得D是A1C1中點(diǎn)． 　　(2)在平面A1B1C1內(nèi)， 　　作DF⊥A1B1于F，過F作FG⊥AB1于G，連DG， 　　由三垂線定理可證AB1⊥DG． 　　∴∠DGF就是二面角A1－AB1－D的平面角， 　　在正△A1B1C1中，∵D是A1C1中點(diǎn)，A1B1＝a， 　　∴B1F＝a，DF＝a． 　　在Rt△DFG中，可求得∠DGF＝， 　　即二面角A1－AB1－D為 　　評(píng)析　　第(2)題中二面角的放置屬于非常規(guī)位置的圖形，看起來有些費(fèi)勁，但是一旦將圖形的空間位置關(guān)系看明白，即可發(fā)現(xiàn)解決問題的基本方法仍然與常規(guī)位置時(shí)相同．