Question

已知函f（x）是偶函數(shù)，而且在（0，+∞）上是增函數(shù)，判斷f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的判斷．

Answer 1

解：f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)（1分）
證明：設x₁＜x₂＜0則-x₁＞-x₂＞0（3分）
∵f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)
∴f（-x₁）＞f（-x₂）（7分）
又f（x）是偶函數(shù)
∴f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）＞f（x₂）
∴f（x₁）＞f-x₂）
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)（12分）
分析：用單調性定義來證明，先在給定區(qū)間上取兩個變量，且界定大小，不妨設x₁＜x₂＜0則有-x₁＞-x₂＞0，
再由“f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)”可得到f（-x₁）＞f（-x₂），然后由“f（x）是偶函數(shù)”轉化為f（x₁）＞fx₂），再由單調性定義判斷．
點評：本題主要考查奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性，結論是：偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相反，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相同．