Question

已知長方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，棱AA₁=3，AB=4，那么直線B₁C₁和平面A₁BCD₁的距離是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：連接BA₁、CD₁，作B₁E垂直BA₁于E點(diǎn)，由已知條件推導(dǎo)出B₁E就是直線B₁C₁與平面A₁BCD₁的距離．根據(jù)三角形面積公式，

1

2

•BB1•A1B1=

1

2

BA1•B1E，由此能求出直線B₁C₁與平面A₁BCD₁的距離．

解答： 解：連接BA₁、CD₁，作B₁E垂直BA₁于E點(diǎn)，
因?yàn)锽₁C₁平行于A₁D₁、B₁C₁平行于BC，
BC、A₁D₁是平面BCD₁A₁的兩邊，
所以B₁C₁∥平面BCD₁A₁，
因?yàn)镃B⊥AB，CB⊥BB₁，所以CB垂直于平面ABB₁A₁，
所以B₁E⊥BC，
又因?yàn)锽₁E⊥BA₁，BC、BA₁是平面BCD₁A₁的兩邊，
所以B₁E⊥平面BCD₁A₁，
又因?yàn)锽₁C₁平行于平面BCD₁A₁，
所以B₁E就是直線B₁C₁與平面A₁BCD₁的距離．
根據(jù)三角形面積公式，

1

2

•BB1•A1B1=

1

2

BA1•B1E，
因?yàn)锳₁A=3，AB=4，所以BB₁=3，A₁B₁=4，BA₁=5，
從而得B₁E=

12

5

，
直線B₁C₁與平面A₁BCD₁的距離是

12

5

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．