Question

已知△ABC滿足，則△ABC的形狀為

1. A.
   直角三角形
2. B.
   等邊三角形
3. C.
   等腰直角三角形
4. D.
   等腰三角形

Answer 1

D
分析：把已知的等式左邊利用=化簡，右邊利用•=||||cosα（其中α為兩向量的夾角）化簡，然后在利用正弦定理把邊化為角后，根據(jù)C為三角形的內(nèi)角可得sinC不為0，在等式兩邊同時除以sinC，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式可得sinC=sin（A+B），利用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡，移項合并后再利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡，可得sin（A-B）=0，由A和B都為三角形的內(nèi)角，可得A=B，從而利用等角對等邊可得三角形為等腰三角形．
解答：根據(jù)=2•得到：c²=2bccosA，
由正弦定理==2R，可得sin²C=2sinBsinCcosA，
又C為三角形的內(nèi)角，得到sinC≠0，
可得sinC=2sinBcosA，
又sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA，即sinAcosB-cosAsinB=0，
∴sin（A-B）=0，且A和B都為三角形的內(nèi)角，
∴A=B，
則△ABC的形狀為等腰三角形．
故選D
點評：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有平面向量的數(shù)量積運算，正弦定理，誘導(dǎo)公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，其中利用平面向量的數(shù)量積運算法則及正弦定理化簡已知的等式是本題的突破點，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．