Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，M為PA的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PC∥平面BDM；
（Ⅱ）若PA=AC=

2

，BD=2

3

，求直線BM與平面PAC所成的角．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OM．
因?yàn)锳BCD是菱形，則O為AC中點(diǎn)．
又M為PA的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥PC．
因?yàn)镺M在平面BDM內(nèi)，所以PC∥平面BDM．

（Ⅱ）因?yàn)锳BCD是菱形，則BD⊥AC．
又PA⊥平面ABCD，則PA⊥BD．
所以BD⊥平面PAC．
所以∠BMO是直線BM與平面PAC所成的角．
因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AC．在Rt△PAC中，
因?yàn)镻A=AC=

2

，則PC=2．
又點(diǎn)M與點(diǎn)O分別是PA與AC的中點(diǎn)，則MO=

1

2

PC=1．
又BO=

1

2

BD=

3

，在Rt△BOM中，
tan∠BMO=

BO

MO

=

3

，所以∠BMO=60°．
故直線BM與平面PAC所成的角是60°．