如圖所示,平面四邊形PABC中,∠PAB為直角,△ABC為等邊三角形,現(xiàn)把△PAB沿著AB折起,使得△APB與△ABC垂直,且點M為AB的中點.
(1)求證:平面PAB⊥平面PCM
(2)若2PA=AB,求直線BC與平面PMC所成角的余弦值.
分析:(1)由面APB⊥面ABC,PA⊥AB,得到線PA⊥面ABC,從而得到PA⊥CM,根據(jù)M為等邊三角形ABC的中點,得到CM⊥AB,從而證出線面垂直,進一步得到面面垂直;
(2)求直線BC與平面PMC所成角的余弦值,首先利用等積法求出B到面PMC的距離,該距離與BC長度的比值為直線BC與平面PMC所成角的正弦值,利用同角三角函數(shù)的基本關系式求出余弦值.
解答:(1)證明:∵△APB⊥△ABC且交線為AB
又∵∠PAB為直角,所以AP⊥平面ABC,
故AP⊥CM,
又∵△ABC為等邊三角形,點M為AB的中點,
所以CM⊥AB,又∵PA∩AB=A
所以CM⊥平面PAB,又CM?△ABC
所以平面PAB⊥平面PCM;
(2)解:假設PA=a,則AB=2a,再設B到平面PMC的距離為hB
則VP-MBC=VB-PMC=
1
3
PA•SMBC=
1
3
hBSPMC

在直角三角形PAM中,由PA=AM=a,得PM=
2
a
,
在等邊三角形ABC中,AB邊上的高CM=
3
a
,
而三角形PMC為直角三角形,
故面積為S△PMC=
1
2
CM•PM=
1
2
2
a•
3
a
=
6
2
a2

S△MBC=
1
2
S△ABC=
3
2
a2

a•
3
2
a2=hB
6
2
a2

hB=
2
2
a

所以直線BC與平面PMC所成角的正弦值sinθ=
hB
BC
=
2
2
a
2a
=
2
4

所以余弦值為cosθ=
1-sin2θ
=
1-(
2
4
)2
=
14
4
點評:本題考查了面面垂直的判定,考查了直線和平面所成的角,訓練了等積法,求解直線和平面所成角,可通過求平面的斜線上的點到平面的距離,然后用點到平面的距離比上該點到斜足的距離得到線面角的正弦值.此題是中檔題.
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1
2
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1
2
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OP
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OP
|
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OA
OB
=-
1
3
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OD
OA
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