Question

若某產(chǎn)品的直徑長與標(biāo)準(zhǔn)值的差的絕對值不超過1mm時，則視為合格品，否則視為不合格品．在近期一次產(chǎn)品抽樣檢查中，從某廠生產(chǎn)的此種產(chǎn)品中；隨機抽取5000件進行檢測，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有50件不合格品．計算這50件不合格品的直徑長與標(biāo)準(zhǔn)值的差（單位mm），將所得數(shù)據(jù)分組，得到如下頻率分布表：

分組	頻數(shù)	頻率
[-3，-2）	5	0.10
[-2，-1）	8	0.16
（1，2]	25	0.50
（2，3]	10	0.20
（3，4]	2	0.04
合計	50	1.00

（Ⅰ）現(xiàn)對該廠這種產(chǎn)品的某個批次進行檢查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有20件不合格品，據(jù)此估算這批產(chǎn)品中的合格品的件數(shù)；
（Ⅱ）用分層抽樣的方法從差的絕對值在[-2，-1）和（3，4]的產(chǎn)品中抽取5個，求其中差的絕對值在[-2，-1）中的產(chǎn)品的個數(shù)；
（Ⅲ）在（Ⅱ）中抽取的5個產(chǎn)品中任取2個，差的絕對值在[-2，-1）和（3，4]中各有1個的概率．

Answer 1

考點：古典概型及其概率計算公式,頻率分布表

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）依題意有

50

5000

=

20

x+20

，解出即這批產(chǎn)品中的合格品的件數(shù)；
（Ⅱ）依題意知

8

8+2

=

x

5

，解出即所抽產(chǎn)品中差的絕對值在[-2，-1）中的產(chǎn)品的件數(shù)；
（Ⅲ）本問為古典概型的問題，需列出基本事件空間，以及事件A包含的基本事件的個數(shù)，再利用公式即可得到概率．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)這批產(chǎn)品中的合格品數(shù)為x件，依題意有

50

5000

=

20

x+20

，
解得x=

5000×20

50

-20=1980，即這批產(chǎn)品中的合格品的件數(shù)估計是1980件；
（Ⅱ）設(shè)所抽產(chǎn)品中差的絕對值在[-2，-1）中的產(chǎn)品有x件，
依題意知

8

8+2

=

x

5

，解得x=4，
即所抽產(chǎn)品中差的絕對值在[-2，-1）中的產(chǎn)品有4件；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，所抽5件產(chǎn)品在[-2，-1）中有4個，在（3，4]中有1個，分別設(shè)為a₁，a₂，a₃，a₄，b，
在5個產(chǎn)品中任取2個的情況為：{a₁，a₂}；{a₁，a₃}；{a₁，a₄}；{a₁，b}；
{a₂，a₃}；{a₂，a₄}；{a₂，b}；{a₃，a₄}；{a₃，b}；{a₄，b}，共10種，
在[-2，-1）和（3，4]中各有1個的情況為{a₁，b}；{a₂，b}；{a₃，b}；{a₄，b}，共4種
故所求的概率為p=

4

10

=0.4．

點評：本題考查統(tǒng)計與概率知識，考查學(xué)生的計算能力和分析問題以及解決問題的能力．屬于中檔題．