Question

平行四邊形ABCD中，AB=1，AD=2，且∠BAD=60°，以BD為折線，把△ABD折起，使平面ABD⊥平面CBD，連接AC．

（Ⅰ）求證：AB⊥DC；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件利用勾股定理推導(dǎo)出AB⊥BD，從而得到平面ABD⊥平面BDC，進(jìn)而得到AB⊥平面BDC，由此能夠證明AB⊥DC．
（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，DB為x軸，DC為y軸，過D垂直于平面BDC的射線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-AC-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：在△ABD中，
∵BD²=AB²+AD²-2•AB•AD•cos60°=3，
∴AD²=AB²+BD²，∴AB⊥BD，
∴平面ABD⊥平面BDC，
∴AB⊥平面BDC，∴AB⊥DC．…（3分）
（Ⅱ）解：在四面體ABCD中，以D為原點(diǎn)，DB為x軸，DC為y軸，
過D垂直于平面BDC的射線為z軸，
建立如圖的空間直角坐標(biāo)系．…（4分）
則D（0，0，0），B（

3

，0，0），
C（0，1，0），A（

3

，0，1）
設(shè)平面ABC的法向量為

n

=(x，y，z)，
∵

BA

=(0，0，1)，

BC

=(-

3

，1，0)，
由

n • BA =0 n • BC =0

，得：

z=0 - 3 x+y=0

，
取x=1，得

n

=(1，

3

，0)，…（6分）
再設(shè)平面DAC的法向量為

m

=(x′，y′，z′)，
∵

DA

=(

3

，0，1)，

DC

=(0，1，0)，
由

m • DA =0 m • DC =0

，得：

3 x′+z′=0 y′=0

，取x′=1，得

m

=(1，0，-

3

)，…（8分）
∴cos?

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

1

4

，
∴二面角B-AC-D的余弦值是

1

4

．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查異面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．