Question

已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上，兩頂點(diǎn)間的距離為4，漸近線(xiàn)方程為y=±2x．
（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為F₁′，F(xiàn)₂′，求以F₁′，F(xiàn)₂′為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P（0，2）的橢圓方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求雙曲線(xiàn)的方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1．由題意，列出關(guān)于a，b的方程，解得a=2，b=1．從而寫(xiě)出雙曲線(xiàn)的方程即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得F₁（0，-

5

），F(xiàn)₂（0，

5

）．根據(jù)點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為F₁′（-

5

，0），F(xiàn)₂′（

5

，0），設(shè)橢圓方程為

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0）．由橢圓定義，得出m，n的值，從而寫(xiě)出橢圓的方程即可．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)殡p曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求雙曲線(xiàn)的方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1．
由題意，得

2a=4 a b =2

解得a=2，b=1．
所求雙曲線(xiàn)的方程為

y2

4

-x2=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得F₁（0，-

5

），F(xiàn)₂（0，

5

）．
點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為F₁′（-

5

，0），F(xiàn)₂′（

5

，0），又P（0，2），設(shè)橢圓方程為

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞n＞0）．
由橢圓定義，得2m=6，∴m=3
因?yàn)閙²-n²=5，所以n²=4．
所以橢圓的方程為

x2

9

+

y2

4

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題．直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．