Question

如圖，橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作直線AF的垂線分別交橢圓、x軸于B，C兩點(diǎn)．
（1）若

AB

=λ

BC

，求實(shí)數(shù)λ的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P為△ACF的外接圓上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△PAB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由已知條件可得F(-1，0)，A(0，

3

)，kAF=

3

．利用兩直線垂直的關(guān)系可求直線AB的方程，及C的坐標(biāo)，聯(lián)立直線AB與橢圓的方程可求B，利用向量的坐標(biāo)表示可求 λ的值
（2）由已知可得△ACF的外接圓的圓心為D（1，0），半徑為2．從而可得圓D的方程為（x-1）²+y²=4．AB為定值，要求△PAB的面積最大時(shí)，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到直線AC的距離最大．利用圓的知識(shí)求解即可

解答：解：（1）由條件得F(-1，0)，A(0，

3

)，kAF=

3

．
因?yàn)锳B⊥AF，
所以kAB=-

3

3

，AB：y=-

3

3

x+

3

．
令y=0，得x=3，
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．
由

y=- 3 3 x+ 3 x2 4 + y2 3 =1

得13x²-24x=0，解得x₁=0（舍）x2=

24

13

．
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(

24

13

，

5 3

13

)．
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

AB

=λ

BC

，所以λ＞0，且λ=

| AB |

| BC |

=

24 13

3- 24 13

=

8

5

．
（2）因?yàn)椤鰽CF是直角三角形，
所以△ACF的外接圓的圓心為D（1，0），半徑為2．
所以圓D的方程為（x-1）²+y²=4．
因?yàn)锳B為定值，
所以當(dāng)△PAB的面積最大時(shí)，點(diǎn)P到直線AC的距離最大．
過D作直線AC的垂線m，則點(diǎn)P為直線m與圓D的交點(diǎn)．
直線m：y=

3

(x-1)與（x-1）²+y²=4聯(lián)立得x=2（舍）或x=0，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-

3

）

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的基本概念，直線垂直關(guān)系的應(yīng)用，向量共線的坐標(biāo)表示，直線與橢圓的相交關(guān)系，及圓的知識(shí)的綜合應(yīng)用，試題的運(yùn)算較多，考查了運(yùn)算的能力．