Question

10．如圖，動(dòng)圓C過(guò)點(diǎn)F（1，0），且與直線(xiàn)x=-1相切于點(diǎn)P．
（Ⅰ）求圓心C的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F任作一直線(xiàn)交軌跡Γ于A，B兩點(diǎn)，設(shè)PA，PF，PB的斜率分別為k₁，k₂，k₃，問(wèn)：$\frac{{{k_1}+{k_3}}}{k_2}$是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用拋物線(xiàn)的定義，求圓心C的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=my+1，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，可得y²-4my-4=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得到根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由題意，圓心C到點(diǎn)F的距離與到直線(xiàn)x=-1的距離相等，
由拋物線(xiàn)的定義，可得，圓心C的軌跡是以F 為焦點(diǎn)，x=-1為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，
∴圓心C的軌跡Γ的方程為y²=4x；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=my+1，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，可得y²-4my-4=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4
設(shè)P（-1，t），則k₁=$\frac{{y}_{1}-t}{m{y}_{1}+2}$，k₃=$\frac{{y}_{2}-t}{m{y}_{2}+2}$，k₂=-$\frac{t}{2}$，
∴k₁+k₃=$\frac{{y}_{1}-t}{m{y}_{1}+2}$+$\frac{{y}_{2}-t}{m{y}_{2}+2}$=-t=2k₂，
∴$\frac{{{k_1}+{k_3}}}{k_2}$=2為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線(xiàn)的定義及其性質(zhì)、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查斜率的計(jì)算，考查了分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．